Question

(Ⅰ)設a₁，a₂，…a_n是各項均不為零的n(n≥4)項等差數列，且公差d≠0。若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列．
(ⅰ)當n=4時，求的數值；
(ⅱ)求n的所有可能值．
(Ⅱ)求證：對于給定的正整數n(n≥4)，存在一個各項及公差均不為零的等差數列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列．

Answer 1

解：首先證明一個“基本事實”：
一個等差數列中，若有連續三項成等比數列，則這個數列的公差d₀=0．
事實上，設這個數列中的連續三項a-d₀，a，a+d₀成等比數列，則a²=(a-d₀)(a+d₀)，由此得d₀=0．
(Ⅰ)(ⅰ)當n=4時，由于數列的公差d≠0，故由“基本事實”推知，刪去的項只可能為a₂或a₃，
①若刪去a₂，則由a₁，a₃，a₄成等比數列，得(a₁+2d)²=a₁(a₁+3d)，
因d≠0，故由上式得a₁= -4d，即=-4，
此時數列為-4d，-3d，-2d，-d，滿足題設．
②若刪去a₃，則由a₁，a₂，a₄成等比數列，得(a₁+d)²=a₁（a₁+3d），
因d≠0，故由上式得a₁=d，即=1，
此時數列為d，2d，3d，4d，滿足題設；
綜上可知，的值為-4或1。
(ⅱ)若n≥6，則從滿足題設的數列a₁，a₂，…a_n中刪去一項后得到的數列，必有原數列中的連續三項，從而這三項既成等差數列又成等比數列，
故由“基本事實”知，數列a₁，a₂，…a_n的公差必為0，這與題設矛盾，所以滿足題設的數列的項數n≤5．
又因題設n≥4，故n=4或5，
當n=4時，由(ⅰ)中的討論知存在滿足題設的數列；
當n=5時，若存在滿足題設的數列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，
則由“基本事實”知，刪去的項只能是a₃，從而a₁，a₂，a₄，a₅成等比數列，
故(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)，及(a₁+3d)2=(a₁+d)(a₁+4d)，
分別化簡上述兩個等式，得a₁d=d²及a₁d=-5d²，故d=0，矛盾．
因此，不存在滿足題設的項數為5的等差數列；
綜上可知，n只能為4．
(Ⅱ)假設對于某個正整數n，存在一個公差為d′的n項等差數列，
其中三項成等比數列，這里，
則有，
化簡，得，（*）
由知，與或同時為零或均不為零，
若=0且=0，則有，
即，得，從而，矛盾；
因此，與都不為零，
故由（*）式，得，
因為m₁，m₂，m₃均為非負整數，
所以上式右邊為有理數，從而是一個有理數，
于是，對于任意的正整數n≥4，只要取為無理數，則相應的數列b₁，b₂，…，b_n就是滿足要求的數列，例如，取b₁=1，，那么n項數列滿足要求．