Question

已知函數f（x）=ax²+a²x+2b-a³，當x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時，f（x）＜0；當x∈（-2，6）時，f（x）＞0．
①求a，b的值；
②設F（x）=-

k

4

f（x）+2kx+13k-2，則當k取何值時，函數F（x）的值恒為負數？

Answer 1

分析：①由題意可得，-2和6是方程ax²+a²x+2b-a³ =0的兩個根，利用一元二次方程根與系數的關系求得a、b的值．
②要使F（x）的值恒為負數，即kx²-2kx+（k+2）＜0恒成立，分k=0和k≠0兩種情況，分別求得 k的取
值范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：①∵函數f（x）=ax²+a²x+2b-a³，當x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時，f（x）＜0；
當x∈（-2，6）時，f（x）＞0，
故-2和6是方程ax²+a²x+2b-a³ =0的兩個根，∴

-2+6= -a -2×6= 2b-a3 a

，解得

a=-4 b=-8

，
∴f（x）=-4x²+16x+48．
②∵F（x）=-

k

4

f（x）+2kx+13k-2=kx²-2kx-（k+2），要使F（x）的值恒為負數，
即kx²-2kx+（k-2）＜0恒成立，
當k=0時，不等式化為-2＜0，符合題意．
當k≠0時，由

k＜0 △=(-2k)2-4k(k-2)＜0

，解得k＜0．
綜上可得，k≤0，即 k的取值范圍為（-∞，0]．

點評：本題主要考查二次函數的性質，函數的恒成立問題，一元二次方程根與系數的關系，體現了分類討論的
數學思想，屬于中檔題．