Question

如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得． ，為的中點．

（1）當時，求平面與平面的夾角的余弦值；

（2）當為何值時，在棱上存在點，使平面？

Answer 1

（1）分別取、的中點、，連接、．

以直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，則、、的坐標分別為（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），

 ∴=（-1，，2），=（-2，0，3）

設平面的法向量，

由得

，可取         …… 3分

平面的法向量可以取           

∴           …… 5分

∴平面與平面的夾角的余弦值為．                  ……6分

（2）在（1）的坐標系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．

因在上，設，則

∴

于是平面的充要條件為

                                 

由此解得，          

即當=2時，在上存在靠近的第一個四等分點，使平面． ……12分