Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°，∠BDC=45°，PD垂直底面ABCD，，E，F分別是PB，CD上的點，且，過點E作BC的平行線交PC于G．
（1）求BD與平面ABP所成角θ的正弦值；
（2）證明：△EFG是直角三角形；
（3）當時，求△EFG的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明△PAB為以∠PAB為直角的直角三角形，點D到面PAB的距離為H，由V_P-ABD=V_D-PAB，求出H的值，R表示，計算
sinθ=的值．
（2）由EG∥BC，結合成比例線段，先證GF∥PD，由GF⊥BC，得 GF⊥EG，從而得到△EFG是直角三角形．
（3）根據成比例線段，求出EG和FG的值，利用△EFG的面積等于EG•FG計算出面積．
解答：解：（1）在Rt△BAD中，∵∠ABD=60°，∴
而PD垂直底面ABCD，
，
，
在△PAB中，PA²+AB²=PB²，即△PAB為以∠PAB為直角的直角三角形．
設點D到面PAB的距離為H，由V_P-ABD=V_D-PAB，有PA•AB•H=AB•AD•PD，
即，．
（2）EG∥BC，∴，而，即 ，
∴GF∥PD，∴GF⊥BC，∴GF⊥EG，∴△EFG是直角三角形．
（3）時，，
即，
∴△EFG的面積．
點評：本題考查線面成的角的求法，線面垂直的性質的應用，屬于中檔題．