Question

已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=log_a（1+）（其中a＞0，且a≠1），記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，建立b₁與d的方程組，解之即可；
（2）因此要比較S_n與log_ab_n+1的大小，可先比較（1+1）（1+）（1+）與的大小，利用用數(shù)學(xué)歸納法證明此式，當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1．
解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，由題意得
解得
所以b_n=3_n-2．
（2）由b_n=3_n-2，知
S_n=log_a（1+1）+log_a（1+）++log_a（1+）
=log_a[（1+1）（1+）（1+）]，log_ab_n+1=log_a．
因此要比較S_n與log_ab_n+1的大小，可先比較（1+1）（1+）（1+）與的大小．
取n=1有（1+1）＞，
取n=2有（1+1）（1+）＞，
由此推測(cè)（1+1）（1+）（1+）＞．①
若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：
當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式．
（ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立．
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即
（1+1）（1+）（1+）＞．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
（1+1）（1+）（1+）（1+）＞（1+）
=（3k+2）．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213537250017141/SYS201310232135372500171013_DA/35.png">==，
所以（3k+2）＞．
因而（1+1）（1+）（1+）（1+）＞．
這就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．
由（ⅰ），（ⅱ）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立．
由此證得：
當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列基本概念及其通項(xiàng)求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，考查歸納、推理能力以及用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證的能力．