Question

如圖所示棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為a，PD=a，PA=PC=，且PD是四棱錐的高．

(1)在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑；
(2)求四棱錐外接球的半徑．

Answer 1

(1)球的最大半徑為．(2)四棱錐外接球的半徑為．

(1)設此球半徑為R，最大的球應與四棱錐各個面都相切，設球心為S，連結SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設它們的高均為R．
V_P—ABCD=·S_ABCD·PD=·a·a·a=a³，
S_△PAD=S_△PDC=·a·a=a²，
S_△PAB=S_△PBC=·a·=，
=a²．
V_P—ABCD=V_S—PDA+V_S—PDC+V_S—ABCD+V_S—PAB+V_S—PBC,
R(S_△PAD+S_△PDC+S_△PAB+S_△PBC+S_ABCD),

所以，
,
即球的最大半徑為．
(2)設PB的中點為F．
因為在Rt△PDB中，FP=FB=FD，
在Rt△PAB中，FA=FP=FB，
在Rt△PBC中，FP=FB=FC，
所以FP=FB=FA=FC=FD．
所以F為四棱錐外接球的球心，
則FP為外接球的半徑．
因為FB=PB，所以FB=.
所以四棱錐外接球的半徑為．