Question

在所有棱長都相等的三棱錐P-ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個命題：①BC∥平面PDF；②DF∥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PDF⊥平面PAE，其中正確命題的序號為

①④

．

Answer 1

分析：作出圖形，：①BC∥平面PDF可用線面平行的判定定理判斷；②DF∥平面PAE可用線面平行的判定定理判斷；③平面PDF⊥平面ABC，可用面面垂直的判定理判斷；④平面PDF⊥平面PAE，可用面面垂直的判定理判斷．

解答：解：①由圖形及題設條件知，DF是中位線，易知DF∥BC，進而可證明出BC∥平面PDF，命題成立；
②由圖形知，DF與AE相交，故DF∥平面PAE 不可能成立
③由圖形及題設條件P在底面ABC上的投影不在中位線DF上，故平面PDF⊥平面ABC不成立，是假命題；
④由題設條件可證得BC⊥平面PAE，再由DF∥BC證得DF⊥平面PAE，即可得到平面PDF⊥平面PAE，命題成立
故答案為：①④

點評：本題考查在三棱錐的背景下，線面，線線、面面之間位置關系的判斷，是立體幾何中的基本題型，重點考查對空間立體的感知能力．