Question

設(是自然對數的底數，)，且．
（1）求實數的值，并求函數的單調區間；
（2）設，對任意，恒有成立．求實數的取值范圍；
（3）若正實數滿足，，試證明：；并進一步判斷：當正實數滿足，且是互不相等的實數時，不等式是否仍然成立．

Answer 1

（1）參考解析;（2）;（3）成立,參考解析

試題分析：（1）由(是自然對數的底數，)，且,即可求出.再根據導函數的值即可求出單調區間.
（2）對任意，恒有成立,通過去分母,整理成兩個函數的單調性的問題即，則在上單調遞增,又,再通過求導即可得到m的取值范圍.
（3）若正實數滿足，，則.通過代入函數關系式消元再用基本不等式即可得到結論.當，且是互不相等的實數時，不等式是否仍然成立.有數學歸納法證明,當n=k+1時利用轉化為k項的形式.再通過構造即可得到結論.
（1）∵，，故．           1分
令得；令得.      3分
所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為．      4分
（2）由變形得：．     5分
令函數，則在上單調遞增.           6分
即在上恒成立.           7分
而（當且僅當時取“=”）
所以．                             9分
（3）證明：不妨設，由得：






其中，故上式的符號由因式“”的符號確定．
令，則函數．
，其中，得，故．即在上單調遞減，且．所以．
從而有成立．
該不等式能更進一步推廣：
已知，是互不相等的實數，若正實數滿足，則．
下面用數學歸納法加以證明：
i）當時，由（2）證明可知上述不等式成立；
ii）假設當時，上述不等式成立．即有：．
則當時，由得：，于是有：
．
在該不等式的兩邊同時乘以正數可得：．
在此不等式的兩邊同時加上又可得：．
該不等式的左邊再利用i）的結論可得：．整理即得：．
所以，當時，上述不等式仍然成立．
綜上，對上述不等式都成立．                  14分