Question

已知函數f(x)=

8x-x2

．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求函數f（x）的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設u=8x-x²，則y=

u

，先求出u的定義域，再求出u的單調區間，即可求得函數y的單調區間．
（Ⅱ）先求出函數的定義域，再利用二次函數的性質求出函數u的值域，即可求得y=

u

的值域．

解答：解：（Ⅰ）設u=8x-x²，則y=

u

． 由u=8x-x²≥0解得 0≤x≤8，故函數的定義域為[0，8]．
由于二次函數u=8x-x² =-（x-4）²+16的對稱軸為 x=4，
當x∈[0，4]時，u是x的增函數，故y是增函數． 當x∈[4，8]時，u是x的減函數，故y是減函數．
故函數f（x）的單調遞增區間是[0，4]，單調遞減區間是[4，8]．
（Ⅱ）由8x-x²=0 求得 x=0，或x=8，所以，當x=0，或x=8時，f_min（x）=0；
當x=4時，u_max=16，這時fmax(x)=

16

=4．

點評：本題主要考查求復合函數的單調區間的方法，求復合函數的值域，體現了等價轉化和換元的數學思想，屬于基礎題．