Question

已知函數
(1)求曲線y=f(x)在(2，f(2))處的切線方程；
(2)若g(x)=f(x)一有兩個不同的極值點．其極小值為M，試比較2M與一3的大小，并說明理由；
(3)設q>p>2，求證：當x∈(p，q)時，.

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性、利用導數求函數的極值和最值、利用導數求曲線的切線方程等數學知識，考查學生分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，先對求導，將代入到中得到切線的斜率，將代入到中得到切點的縱坐標，最后利用點斜式，直接寫出切線方程；第二問，對求導，由于有2個不同的極值點，所以有2個不同的根，即在有兩個不同的根，所以且，可以解出a的取值范圍，所以根據的單調性判斷出為極小值，通過函數的單調性求最值，從而比較大小；第三問，用分析法證明分析出只須證，構造函數，利用函數的單調性證明，同理再證明，最后利用不等式的傳遞性得到所證不等式.
試題解析：（1）易知，∴ 
∴所求的切線方程為，即 4分
（2）易知，
∵有兩個不同的極值點
∴在有兩個不同的根
則且 解得               6分
在遞增，遞減，遞增
∴的極小值
又∵
∴
則，∴在遞減
∴，故                        9分
（3）先證明：當時，
即證：
只需證：
事實上，設
易得，∴在內遞增
∴  即原式成立                        12分
同理可以證明當時，   
綜上當時，.             14分