Question

已知數列{a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，（n=1，2，3，…）．
（1）求證：數列{a_n-1}是等比數列；
（2）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3…），求數列{b_n}的最大項的值；
（3）對第（2）問中的數列{b_n}，如果對任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可證明數列{a_n-1}是等比數列；
（2）求得數列{b_n}的通項，設數列{b_n}的第r項最大，建立不等式，即可求得結論；
（3）利用（2）的結論，對任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，轉化為

1

8

≤t²-

1

4

t，即可求實數t的取值范圍．

解答：（1）證明：由題可知：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，…①，
a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=n+1-a_n+1，…②，②-①可得2a_n+1-a_n=1…（3分）；
即：a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），又a₁-1=-

1

2

…..（5分），
所以數列{a_n-1是以-

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數列…..…..（4分）
（2）解：由（1）可得a_n=1-(

1

2

)n，故bn=

n-2

2n

，
設數列{b_n}的第r項最大，則有

r-2 2r ≥ r-1 2r+1 r-2 2r ≥ r-3 2r-1

，∴

2(r-2)≥r-1 r-2≥2(r-3)

，∴3≤r≤4，
故數列{b_n}的最大項是b3=b4=

1

8

..…..（8分）
（3）解：由（2）可知{b_n}有最大值是b3=b4=

1

8

，所以，對任意n∈N^*，都有b_n≤

1

8

，
∵對任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，即b_n≤t²-

1

4

t成立，
∴

1

8

≤t²-

1

4

t，…（11分），
解得t≥

1

2

或t≤-

1

4

∴實數t的取值范圍是（-∞，-

1

4

]∪[

1

2

，+∞）…（12分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查恒成立問題，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．