Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（-2，1），k，t為正實數，向量

x

=

a

+（t²+1）

b

，

y

=-k

a

+

1

t

b

．
（1）若

x

⊥

y

，求k的最小值；
（2）是否存在k，t使

x

∥

y

？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）用坐標表示出

x

、

y

，利用

x

⊥

y

，結合基本不等式，即可得出結論；
（2）利用向量共線的結論，可得k=-

1

t(t2+1)

，根據t＞0，即可得出結論．

解答：解：（1）∵向量

x

=

a

+（t²+1）

b

，

y

=-k

a

+

1

t

b

，

a

=（1，2），

b

=（-2，1），
∴

x

=（-2t²-1，t²+3），

y

=(-k-

2

t

，-2k+

1

t

)
∵

x

⊥

y

，
∴（-2t²-1，t²+3）•(-k-

2

t

，-2k+

1

t

)=0
∴k=5(t+

1

t

)≥10，當且僅當t=1時，k取最大值10；
（2）∵

x

∥

y

，
∴（-2t²-1）•(-2k+

1

t

)=（t²+3）•（-k-

2

t

）
∴k=-

1

t(t2+1)

∵t＞0，∴k＜0
∵k為正實數，∴不存在．

點評：本題考查向量的垂直與共線，考查數量積的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．