Question

已知函數f(x)=log_a(a^x-1)(a＞0,a≠1),

(1)證明函數f(x)的圖象在y軸的一側;

(2)設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)(x₁＜x₂)是圖象上兩點,證明直線AB的斜率大于0;

(3)求函數y=f(2x)與y=f^-1(x)的圖象的交點坐標.

Answer 1

(1)證明：由a^x-1＞0,得a^x＞1.

    當a＞1時,x＞0,此時f(x)的圖象在y軸右側;

    當0＜a＜1時,x＜0,此時f(x)的圖象在y軸左側.

    故函數f(x)的圖象總在y軸的一側.

(2)證明：當a＞1時,y=a^x是增函數,設0＜x₁＜x₂,則1＜＜,于是0＜ -1＜-1.

    故log_a(-1)＜log_a(-1),即y₁＜y₂;

    當0＜a＜1時,y=a^x是減函數,設x₁＜x₂＜0,則＞＞1,于是-1＞-1＞0.

    故log_a(-1)＜log_a(-1),即y₁＜y₂.

∴不論a＞1或0＜a＜1,當x₁＜x₂時,總有y₁＜y₂,∴直線AB的斜率＞0.

(3)解：∵f(x)=log_a(a^x-1),

∴f^-1(x)=log_a(a^x+1),

f(2x)=log_a(a^2x-1).

∴a^x+1=a^2x-1,即(a^x)²-a^x-2=0.

∴a^x=2.∴x=log_a2,f^-1(x)=log_a3.

∴交點坐標為(log_a2,log_a3).