Question

設是定義在R上的奇函數(shù)，與的圖象關于直線x = 1對稱，當時，。

（1）求的解析式；

（2）當x = 1時，取得極值，證明：對任意x₁、，不等式

。

（3）若是上的單調(diào)函數(shù)，且當時有，

證明：。

Answer 1

解：①∵與的圖象關于直線x = 1對稱當時，設為上的點

∴P關于x = 1對稱點

則

∴

∴

又∵在R上是奇函數(shù)， ∴

又設                 ∴

∴

∴

∴   ∴

②

∴   ∴  ∴

∴

∵有   ∴

∴即在（－1，1）上為單調(diào)減函數(shù)，在上有

則上恒有：

③若在單調(diào)遞減，則

∴上不恒成。

故a不存在，∴在遞增

∴在上恒成立。∴

不妨假設，則

已知矛盾

若則與（矛盾）

∴綜上可知