Question

已知f（x）=2^x+

1

2x

（1）判斷函數的奇偶性并證明；
（2）判斷函數在（-∞，0）內的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）判斷知，此函數f（x）=2^x+

1

2x

 是一個偶函數，由偶函數的定義進行證明即可；
（2）f（x）=2^x+

1

2x

是減函數，可由定義法證明，此函數在（-∞，0）內單調遞減；

解答：解：（1）函數是一個偶函數，證明如下
由已知f（x）=2^x+

1

2x

=2^x+2^-x，
∵f（-x）=2^x+2^-x=f（x）
∴函數是一個偶函數
（2）是減函數，證明如下
任取x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=2x1-2x2+

1

2x1

-

1

2x2

=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2

)
由于x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，可得2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數在（-∞，0）內是減函數

點評：本題考點是指數函數綜合題，考查了指數的運算性質，函數奇偶性的判斷證明，函數單調性的證明，正確解答本題，第一小題關鍵是理解偶函數的定義及證明方法，第二小題關鍵是熟練掌握單調性的定義及單調性證明的步驟，定義法是證明單調性的重要方法，要熟練掌握