Question

7．已知二次函數f（x）=ax²+bx+1，a，b∈R，當x=-1時，函數f（x）取到最小值，且最小值為0；
（1）求f（x）解析式；
（2）關于x的方程f（x）=|x+1|-k+3恰有兩個不相等的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的對稱軸和函數的最值，即可求出函數的解析式，
（2）設|x+1|=t，t≥0，得到t²-t+k-3=0，由x的方程f（x）=|x+1|-k+3恰有兩個不相等的實數解，得到關于t的方程由兩個相等的根或有一個正根，解得即可．

解答 解：（1）x=-1時，函數f（x）取到最小值，且最小值為0，
∴-$\frac{b}{2a}$=-1，f（-1）=a-b+1=0，
解得a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1，
（2）：f（x）=|x+1|-k+3，
∴x²+2x+1=|x+1|-k+3，
即（x+1）²=|x+1|-k+3，
設|x+1|=t，t≥0，
∴t²-t+k-3=0，
∵x的方程f（x）=|x+1|-k+3恰有兩個不相等的實數解，
∴關于t的方程由兩個相等的根或有一個正根，
∴△=1-4（k-3）=0，或$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4（k-3）＞0}\\{k-3＜0}\end{array}\right.$
解得k=$\frac{13}{4}$，或k＜3，
故有k的取值范圍為{k|k=$\frac{13}{4}$，或k＜3}

點評 本題考查了二次函數的性質，以及參數的取值范圍，關鍵是換元，屬于中檔題．