Question

若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=（n=1，2，…）
（1）求證：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=，寫出a₂、a₃、a₄、a₅的值，觀察并歸納出這個數列的通項公式a_n；
（3）證明：存在不等于零的常數p，使是等比數列，并求出公比q的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用反證法，若a_n+1=a_n，即=a_n，解得 a_n=0或1，結論與題干條件矛盾，
（2）根據a_n+1=，a₁=，求出a₂=，a₃=，a₄=，a₅=，觀察各項分子通項為2^n-1，分母通項為2^n-1+1，于是可以寫出通項公式a_n，
（3）因為=，又=-q，據此可以求出（2+p-2q）a_n=p（1-2p），故能求出q和p的值．
解答：解：（1）采用反證法．若a_n+1=a_n，即=a_n，解得 a_n=0或1，
從而a_n=a_n1=…a₂=a₁=0或1與題設a₁＞0，a₁≠1相矛盾，故a_n+1≠a_n成立．
（2）a₁=，a₂=，a₃=，a₄=，a₅=，a_n=．
（3）因為=，又=-q，
所以（2+p-2q）a_n=p（1-2p），
因為上式是關于變量a_n的恒等式，故可解得q=、p=-1．
點評：本題主要考查數列遞推式和等差關系的確定等知識點，熟練掌握反證法和歸納法進行數學解題，本題難度一般．