Question

已知拋物線y²＝2px(p＞0)上一個橫坐標為2的點到其焦點的距離為．

(1)求p的值；

(2)若A是拋物線y²＝2px上的一動點，過A作圓M：(x－1)²＋y²＝1的兩條切線分別切圓于E、F兩點，交y軸于B、C兩點，當A點橫坐標大于2時，求△ABC的面積的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由拋物線的定義知，， 　　所以　　4分 　　(2)設A(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)， 　　直線AB的方程為y－b＝， 　　即(y0－b)x－x0y＋x0b＝0 　　又圓心(1，0)到AB的距離為1，所以＝1　　7分 　　即(y0－b)2＋x＝(y0－b)2＋2x0b(y0－b)＋xb2 　　又x0＞2，上式化簡得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0　　9分 　　同理有(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0 　　故b，c是方程(x0－2)t2＋2y0t－x0＝0的兩個實數根 　　所以b＋c＝，bc＝　　11分 　　則(b－c)2＝＝， 　　即|b－c|＝， 　　∴S△ABC＝|b－c|x0＝＝x0－2＋＋4≥2＋4＝8　　13分 　　當(x0－2)2＝4時，上式取等號，此時x0＝4，y＝±2 　　因此S△ABC的最小值為8　　15分