Question

設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足：當x=1時，f（x）取得最小值1，且f(0)=

3

2

．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在實數(shù)m，n，使x∈[m，n]時，函數(shù)的值域也是[m，n]？若存在，則求出這樣的實數(shù)m，n；若不存在，則說明理由．

Answer 1

（1）由題意，得：

a＞0 - b 2a =1 f(1)=a+b+c=1 f(0)=c= 3 2

（4分）
解之得：a=

1

2

，b=-1，c=

3

2

，（7分）
（2）∴f(x)=

1

2

x2-x+

3

2

=

1

2

(x-1)2+1（8分）
從而，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）（10分）
由f（x）取得最小值1，得1≤m＜n，（11分）
所以，f（x）在區(qū)間[m，n]上單調(diào)增，（12分）
故

f(m)=m f(n)=n

（13分）
即m，n是方程f（x）=x，即

1

2

x2-2x+

3

2

=0的兩不小于1的不等實根，┉┉（15分）
∴m=1，n=3（16分）