Question

【題目】某企業有，兩個分廠生產某種產品，規定該產品的某項質量指標值不低于130的為優質品．分別從，兩廠中各隨機抽取100件產品統計其質量指標值，得到如圖頻率分布直方圖：

（1）根據頻率分布直方圖，分別求出分廠的質量指標值的眾數和中位數的估計值；

（2）填寫列聯表，并根據列聯表判斷是否有的把握認為這兩個分廠的產品質量有差異？

	優質品	非優質品	合計
合計

（3）（i）從分廠所抽取的100件產品中，利用分層抽樣的方法抽取10件產品，再從這10件產品中隨機抽取2件，已知抽到一件產品是優質品的條件下，求抽取的兩件產品都是優質品的概率；

（ii）將頻率視為概率，從分廠中隨機抽取10件該產品，記抽到優質品的件數為，求的數學期望．

附：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)(i);(Ⅱ)答案見解析.

【解析】分析：第一問首先利用眾數和中位數定義，得到直方圖中最高的那條對應的組中值就是眾數，利用中位數的兩邊對應的條的面積是相等的，求得中位數；結合題中的條件，填完列聯表，之后應用公式求得的觀測值，與表中的值相比較，得到是否有把握認為其有沒有關系；第三問利用概率公式求得結果，分析變量的取值以及對應的概率列出分布列，應用離散型隨機變量的分布列的期望公式求得結果.

詳解：（1）分廠的質量指標值的眾數的估計值為，

設分廠的質量指標值的中位數的估計值為，則

，解得．

（2）列聯表：

	優質品	非優質品	合計
	5	95	100
	20	80	100
合計	25	175	200

由列聯表可知的觀測值為：

，

所以有的把握認為兩個分廠的產品質量有差異．

（3）（i）依題意，廠的100個樣本產品利用分層抽樣的方法抽出10件產品中，優質品有2件，非優質品有8件，

設“從這10件產品中隨機抽取2件，已知抽到一件產品是優質品”為事件，“從這10件產品中隨機抽取2件，抽取的兩件產品都是優質品”為事件，則，

所以已知抽到一件產品是優質品的條件下，抽取的兩件產品都是優質品的概率是．

（ii）用頻率估計概率，從分廠所有產品中任取一件產品是優質品的概率為0.20，所以隨機變量服從二項分布，即，

則．