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函數y=x+
a
x
(x>0)
有如下性質:若常數a>0,則函數在(0,
a
]
上是減函數,在[
a
,+∞)
上是增函數.已知函數f(x)=x+
m
x
(m∈R為常數),當x∈(0,+∞)時,若對任意x∈N,都有f(x)≥f(4),則實數m的取值范圍是
 
分析:由題意可得f(4)是函數的最小值,則f(3)≥f(4)且f(5)≥f(4),由此得m的不等式組,解出即可.
解答:解:由函數y=x+
a
x
(x>0)
的性質可知,若對任意x∈N,都有f(x)≥f(4),
則f(4)是函數的最小值,
f(3)≥f(4)
f(5)≥f(4)

3+
m
3
≥4+
m
4
5+
m
5
≥4+
m
4

m
3
-
m
4
≥1
m
4
-
m
5
≤1

m≥12
m≤20

解得12≤m≤20,
故答案為:[12,20].
點評:本題主要考查函數單調性的應用,正確理解函數f(x)的性質是解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2lnx-x2
(Ⅰ) 求函數y=f(x)在[
12
,2]
上的最大值.
(Ⅱ)如果函數g(x)=f(x)-ax的圖象與x軸交于兩點A(x1,0)、B(x2,0),且0<x1<x2.y=g′(x)是
y=g(x)的導函數,若正常數p,q滿足p+q=1,q≥p.求證:g′(px1+qx2)<0.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數y=x+
a
x
有如下性質:若常數a>0,則該函數在區間(0,
a
]
上是減函數,在區間[
a
,+∞)
上是增函數;函數y=x2+
b
x2
有如下性質:若常數c>0,則該函數在區間(0,
4b
]
上是減函數,在區間[[
4b
,+∞)
上是增函數;則函數y=xn+
c
xn
(常數c>0,n是正奇數)的單調增區間為
[
2nc
,+∞)
[
2nc
,+∞)

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網給出下列5個命題:
①0<a≤
1
5
是函數f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區間(-∞,4]上為單調減函數的充要條件;
②如圖所示,“嫦娥探月衛星”沿地月轉移軌道飛向月球,在月球附近一點P進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行,之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行,最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行,若用2Cl和2c2分別表示摘圓軌道I和II的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長,則有c1a2>a1c2
③函數y=f(x)與它的反函數y=f-1(x)的圖象若相交,則交點必在直線y=x上;
④己知函數f(x)=loga(1-ax)在(O,1)上滿足,f′(x)>0,貝U
1
1-a
>1+a>
2a

⑤函數f(x)=
tan2x+
(1+i)2
i
+1
tan2x+2
(x≠kπ+
π
2
),k∈Z,/為虛數單位)的最小值為2;
其中所有真命題的代號是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

我們知道:若函數y=f(x)存在函數y=f-1(x),則原函數y=f(x)與其反函數y=f-1(x)的圖像關于直線y=x對稱;若y=f(x)與y=f-1(x)的圖像有公共點,則某些公共點也未必在直線y=x上,例如:f(x)=.

(Ⅰ)已知y=f(x)為定義域上的增函數,且y=f(x)與y=f-1(x)的圖像有公共點,求證:y=f(x)與y=f-1(x)的圖像的公共點在直線y=x上;

(Ⅱ)設f(x)=ax(a>1),試討論f(x)與f-1(x)的圖像的公共點的個數.

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同步練習冊答案
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