Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點E在CC₁上，且CE=λCC₁．
（1）λ為何值時，A₁C⊥平面BED；
（2）若A₁C⊥平面BED，求二面角A₁-BD-E的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：由于λ不確定，從而E點是個動點，而要A₁C⊥平面BED，所以不妨考慮A₁C⊥平面BED滿足的條件，從而發(fā)現(xiàn)必須有A₁C⊥BE，由三垂線定理，得到B₁C⊥BE，由三角形相似容易得到λ的值，
法二：用向量法，以D為坐標(biāo)原點，射線DA為x軸的正半軸，射線DC為y軸的正半軸，射線DD₁為z軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz．則：D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），由于CE=λCC₁，而CC₁的坐標(biāo)可求，A₁C坐標(biāo)可求，若A₁C⊥平面BED，則A₁C⊥DE，由向量內(nèi)積定義可求λ的值；
（2）法一：在解決問題（1）的基礎(chǔ)上，可以作出二面角的平面角，通過解三角形解決．
法二：用向量法，由（1）知平面BDE的一個法向量為=（-2，2，-4），故只需求平面DA₁B的一個法向量，設(shè)為n=（x，y，z），則n⊥，n⊥，通過內(nèi)積為0求之，再計算向量n與向量A₁C的夾角即可．
解答：解：法一：（1）連接B₁C交BE于點F，連接AC交BD于點G，
∴AC⊥BD，由垂直關(guān)系得，A₁C⊥BD，
若A₁C⊥平面BED，則A₁C⊥BE，
由垂直關(guān)系可得B₁C⊥BE，
∴△BCE∽△B₁BC，∴==，
∴CE=1，∴λ==．
（2）連接A₁G，連接EG交A₁C于H，則A₁G⊥BD．
∵A₁C⊥平面BED，
∴∠A₁GE是二面角A₁-BD-E的平面角．
∵A₁G=3，EG=，A₁E=，
∴cos∠A₁GE==，

法二：（1）以D為坐標(biāo)原點，射線DA為x軸的正半軸，射線DC為y軸的正半軸，射線DD₁為z軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz．
依題設(shè)，D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），
∵CE=λCC₁=4λ，∴E（0，2，4λ），
∴=（2，2，0），=（2，0，4），
=（-2，2，-4），=（0，2，4λ），
∵•=2×（-2）+2×2+0×（-4）=0，
∴⊥，∴DB⊥A₁C．
若A₁C⊥平面BED，則A₁C⊥DE，∴⊥，
∴•=（-2）×0+2×2+（-4）×4λ=4-16λ=0，
∴λ=．
（2）設(shè)向量n=（x，y，z）是平面DA₁B的一個法向量，
則n⊥，n⊥，∴2x+2y=0，2x+4z=0，
令z=1，則x=-2，y=2，∴n=（-2，2，1）
由（1）知平面BDE的一個法向量為=（-2，2，-4）
∴cos＜n，＞==．
即二面角A₁-BD-E的余弦值為．

點評：本題考查直線垂直于平面、二面角的求法，在長方體、正方體等較為規(guī)則的幾何體中，因為容易建立空間坐標(biāo)系，可以考慮向量法解決，也可以用幾何法推導(dǎo)，但是一定要注意問題中有連續(xù)的幾問時，前一問對后面問題的影響，從而使后面的問題的解決變得簡捷．