Question

已知函數f（x）=x²，g（x）=2elnx（x＞0）（e為自然對數的底數）．
（1）當x＞0時，求證：f′（x）+g′（x）≥4；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的單調區間及最小值；
（3）試探究是否存在一次函數y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b對一切x＞0恒成立，若存在，求出該一次函數的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）與g（x）的導數，利用均值不等式可得；
（2）先求出F（x）的導數，根據F′（x）＞0求得的區間是單調增區間，F′（x）＜0求得的區間是單調減區間，求出極值；
（3）f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個公共點（，e），故可猜想：一次函數的圖象就是f（x）與g（x）的圖象在點
（，e）處的公切線，然后進行驗證．
解答：解：（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）=，
∴f′（x）+g′（x）=2（x+）≥2×2=4，
當且僅當x=，即x=時，等號成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4；（4分）
（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）
=2（x-）=（x＞0），
令F′（x）=0，得x=（x=-舍），
∴當0＜x＜時，F′（x）＜0，F（x）
在（0，）上單調遞減；
當x＞時，F′（x）＞0，F（x）
在（+∞）上單調遞增．（8分）
∴當x=時，F（x）有極小值，也是最小值，
即F（x）_min=F（）=e-2eln=0．
∴F（x）的單調遞增區間為（，+∞），
單調遞減區間為（0，），
最小值為0；（10分）
（3）由（2）知，f（x）與g（x）
的圖象有且僅有一個公共點（，e），
∴猜想：一次函數的圖象就是f（x）與g（x）
的圖象在點（，e）處的公切線，
其方程為y=2x-e．（12分）
下面證明：當x＞0時，f（x）≥2x-e，
且g（x）≤2x-e恒成立．
又∵f（x）-（2x-e）=（x-）²≥0，
∴f（x）≥2x-e對x＞0恒成立．
又令G（x）=2x-e-g（x）=2x-e-2elnx，
∴G′（x）=2-=，∴當0＜x＜時，
G′（x）＜0，G（x）在（0，）上單調遞減；
當x＞時，G′（x）＞0，
G（x）在（，+∞）上單調遞增．
∴當x=時，G（x）有極小值，也是最小值，
即G（x）_min=G（）=2e-e-2eln=0，
∴G（x）≥0，即g（x）≤2x-e恒成立．
故存在一次函數y=2x-e，使得當x＞0時，
f（x）≥2x-e，且g（x）≤2x-e恒成立．
點評：本小題主要考查函數的求導、均值不等式、利用導數等知識研究函數的單調性，考查分類討論的思想方法和運算求解的能力．題干背景新，綜合性強，是一道好壓軸題．