Question

已知函數f(x)=x2-3kx+3k-log

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m（k，m為常數）．
（1）當k和m為何值時，f（x）為經過點（1，0）的偶函數？
（2）若不論k取什么實數，函數f（x）恒有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義可判斷出f（-x）=f（x）把函數解析式代入求得6kx=0總成立，求得k，進而根據函數過（1，0）點代入后即可求得m．
（2）根據函數f（x）恒有兩個不同的零點知可判斷出方程x2-3kx+3k-log

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m=0恒有兩個不等實根進而根據△＞0恒成立，進而求得m的范圍．

解答：解：（1）因為函數f（x）為偶函數，
∴f（-x）=f（x）
∴x2+3kx+3k-log

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2

m=x2-3kx+3k-log

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2

m
由此得6kx=0總成立，故k=0．
∴f(x)=x2-log

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m，又該函數過點（1，0），
∴log

1

2

m=1，得m=

1

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所以，當m=

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，k=0時，f（x）為經過點（1，0）的偶函數．
（2）由函數f（x）恒有兩個不同的零點知，
方程x2-3kx+3k-log

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m=0恒有兩個不等實根
，故△=9k2-4(3k-log

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m)＞0恒成立，
即4log

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m＞-9k2+12k恒成立，
而-9k²+12k=-9(k-

2

3

)2+4≤4，
故只須4log

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m＞4，即log

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2

m＞1，解得0＜m＜

1

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．
所以，當0＜m＜

1

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時，函數f（x）恒有兩個不同的零點．

點評：本題主要考查了函數的零點與方程根的關系．如果函數無零點，則方程無實數根；如果有一個零點，則方程有且只有一個實根；函數有兩個零點，則方程有兩個實數根．