Question

【題目】從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值．由測量表得到如下頻率分布直方圖

（1）補全上面的頻率分布直方圖（用陰影表示）；

（2）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中間值作為代表，據此估計這種產品質量指標值服從正態分布Z（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均值，σ2近似為樣本方差s2（組數據取中間值）；

①利用該正態分布，求從該廠生產的產品中任取一件，該產品為合格品的概率；

②該企業每年生產這種產品10萬件，生產一件合格品利潤10元，生產一件不合格品虧損20元，則該企業的年利潤是多少？

參考數據：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①0.9544，②863200．

【解析】

（1）由頻率分布圖求出[95，105）的頻率，由此能作出補全頻率分布直方圖；

（2）求出質量指標值的樣本平均數、質量指標值的樣本方差；

①由（2）知Z～N（100，104），從而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意運用所給數據；

②設這種產品每件利潤為隨機變量E（X），即可求得EX．

（1）由頻率分布直方圖得：[95，105）的頻率為：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，補全上面的頻率分布直方圖（用陰影表示）：

質量指標值的樣本平均數為：

＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．

質量指標值的樣本方差為

S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．

（2）①由（1）知Z～N（100，104），從而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；

②由①知一件產品的質量指標值位于區間（79.6，120.4）的概率為0.9544，

該企業的年利潤是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．