Question

設f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f(

π

6

)|對一切x∈R恒成立，則   
①f(-

π

12

)=0；    
②f（x）的圖象關于x=

π

6

對稱；
③f（x）的單調遞減區間是[kπ+

π

6

， kπ+

2π

3

] (k∈Z)；
④|f(

7π

12

)|＞|f(

π

5

)|；
⑤存在經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象相交．
以上結論正確的是

 

（寫出所有正確結論的編號）．

Answer 1

分析：化簡f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得f（

π

6

）是三角函數的最值，得到x=

π

6

是三角函數的對稱軸，將其代入整體角令整體角等于kπ+

1

2

π，求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數的性質．

解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=±

a2+b2

sin（2x+θ）
由f（x）≤|f（

π

6

）|可得f（

π

6

）為函數f（x）的最值，得到x=

π

6

是三角函數的對稱軸，
∴2×

π

6

+θ=kπ+

1

2

π，∴θ=kπ+

π

6

，
∴f（x）=asin2x+bcos2x=±

a2+b2

sin（2x+

π

6

）
對于①f（-

π

12

）=±

a2+b2

sin[2×（-

π

12

）+

π

6

]=0，故①對；
對于②，由f（x）≤|f（

π

6

）|可得f（

π

6

）為函數f（x）的最值，得到x=

π

6

是三角函數的對稱軸，故②對；
對于③，由于f（x）的解析式中有±，故單調性分情況討論，故[kπ+

π

6

， kπ+

2π

3

] (k∈Z)不一定是增區間，故③不對；
對于④，|f（

7π

12

）|=

a2+b2

|sin（

7π

6

+

π

6

）|=

3(a2+b2)

2

，
|f（

π

5

）|=

a2+b2

|sin（

2π

5

+

π

6

）|=

a2+b2

|sin（

17π

30

）|＜

a2+b2

|sin（

2π

3

）=

3(a2+b2)

2

，
∴|f(

7π

12

)|＞|f(

π

5

)|，故④對；
對于⑤要使經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交，則此直線須與橫軸平行，且|b|＞

a2+b2

，b²＞a²+b²這不可能，矛盾，
故存在經過點（a，b）的直線于函數f（x）的圖象相交，故⑤對；
故答案為：①②④⑤

點評：本題考查三角函數的對稱軸過三角函數的最值點、考查研究三角函數的性質常用整體處理的思想方法．