Question

定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內(nèi)的任意兩個x₁，x₂（x₁≠x₂），均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立，則稱函數(shù)f（x）在定義域D上滿足利普希茨條件．若函數(shù)f(x)=

x

(x≥1)滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最小值為

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)函數(shù)f(x)=

x

(x≥1)滿足利普希茨條件，得到k滿足不等式k≥

x1 - x2

x1- x2|

=

1

x1 + x2

；然后由x₁，x₂∈[1，+∞），得

1

x1 + x2

的取值范圍，而k只需大于等于 

1

x1 + x2

的最大值即可．

解答：解：因為函數(shù)f(x)=

x

(x≥1)滿足利普希茨條件，
 所以存在常數(shù)k，使得對定義域[1，+∞）內(nèi)的任意兩個x₁，x₂（x₁≠x₂），均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立，
 不妨設(shè)x₁＞x₂，則k≥

x1 - x2

x1-x2

=

1

x1 + x2

．
 而0＜

1

x1 + x2

＜

1

2

，所以k的最小值為

1

2

．
故答案為

1

2

．

點評：本題主要考查對新信息的理解力；及分離參數(shù)利用不等式求最值的方法．