Question

已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為F₁、F₂，點滿足F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如果圓E：被橢圓C所覆蓋，求圓的半徑r的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓C的離心率和點F₂在線段PF₁的中垂線上知|F₁F₂|=|PF₂|，由此推出，從而可求出橢圓C的方程．
（2）設P（x，y）是橢圓C上任意一點，則，，由此可求出圓的半徑r的最大值．
解答：解：（1）橢圓C的離心率，得，
其中，橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），又點F₂在線段PF₁的中垂線上，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴，
解得c=1，a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為．
（2）設P（x，y）是橢圓C上任意一點，
則，，∵，
∴（）．
當x=1時，|PE|_min=，
∴半徑r的最大值為．
點評：本題綜合考查橢圓的性質和圓的知識，解題時要仔細審題，認真計算．