Question

從原點出發的某質點M，按向量a=(0,1)移動的概率為，按向量b=（0，2）移動的概率為，設M可到達點（0，n）的概率為P_n
(1)求P₁和P₂的值；（2）求證：=;(3)求的表達式。

Answer 1

（1）P₁= ，P₂=； （2）證明見解析；（3）(-)ⁿ

（1）P₁= ，P₂=（）²+=
（2）證明：M到達點（0，n+2）有兩種情況：①從點（0，n+1）按向量a=（0，1）移動；②從點（0，n）按向量b=（0，2）移動.
∴+     ∴=
（3）數列{}是以P₂-P₁為首項，-為公比的等比數列.
= (P₂-P₁)(-)^n-1=(-)^n-1=(-)ⁿ⁺¹,
∴=(-)ⁿ,
又∵=（）+（）+…+(P₂-P₁)
=(-)ⁿ+(-)^n-1+…+(-)²=()[1- (-)^n-1]
∴+()[1- (-)^n-1]= (-)ⁿ