Question

【題目】函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；

（2）構造函數，由題意可知恒成立，對實數分和兩種情況討論，利用導數分析函數在區間上的單調性，驗證是否成立，由此可得出實數的取值范圍.

（1）函數的定義域為，.

（i）當時，，函數在上單調遞增；

（ii）當時，令得.

若，則；若，則.

①當時，，函數在上單調遞增；

②當時，，

當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；

綜上，可得，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）設，，則.

當時，單調遞增，則.

所以，函數在上單調遞增，且.

當時，，

于是，函數在上單調遞增，恒成立，符合題意；

當時，由于，，，

所以，存在，使得.

當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.

故，不符合題意，

綜上所述，實數的取值范圍是.