Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=

1

3

x³-x²-ax+2．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若對任意x∈（0，+∞），g′（x）≥f（e）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出原函數的導函數，由導函數等于0得到導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段后判斷在不同區間內導函數的符號，從而求得函數f（x）的單調區間；
（2）求出函數g（x）的導函數，配方后求出導函數的最小值，代入g′（x）≥f（e）后分離變量即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1．
令f′（x）＞0，得lnx＞-1，∴x＞

1

e

．
由于f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f（x）在(0，

1

e

)上單調遞減，在(

1

e

，+∞)單調遞增；
（2）由g（x）=

1

3

x³-x²-ax+2．
所以g′（x）=x²-2x-a=（x-1）²-1-a．
則g′（x）_min=-1-a．
由g′（x）≥f（e）恒成立，
得-1-a≥f（e）=e恒成立，
∴a≤-1-e．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用配方法求函數的最值，訓練了分離變量法，是中檔題．