Question

（2005•上海模擬）已知f（x）是定義在R上的增函數，且記g（x）=f（x）-f（1-x）．
（1）設f（x）=x，若數列{a_n}滿足a₁=3，a_n=g（a_n-1），試寫出{a_n}的通項公式及前2m的和S_2m；
（2）對于任意x₁、x₂∈R，若g（x₁）+g（x₂）＞0，判斷x₁+x₂-1的值的符號．

Answer 1

分析：（1）根據題意得a_n=g（a_n-1）=f（a_n-1）-f（1-a_n-1）=a_n-1-（1-a_n-1）=2a_n-1-1，則a_n-1=2（a_n-1-1），從而得到數列{a_n-1}是以2為首項，2為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式和求和公式即可求出
（2）利用反證法的思想進行判斷x₁+x₂-1的值的符號．若x₁+x₂-1≤0，則x₁≤1-x₂，x₂≤1-x₁，結合f（x）是定義在R上的增函數得出矛盾，從而得到x₁+x₂-1＞0．

解答：解：（1）a_n=g（a_n-1）=f（a_n-1）-f（1-a_n-1）=a_n-1-（1-a_n-1）=2a_n-1-1，則a_n-1=2（a_n-1-1），a₁-1=2，即數列{a_n-1}是以2為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n=2ⁿ+1，S2m=

2(22m-1)

2-1

+2m=22m+1+2m-2；
（2）若x₁+x₂-1≤0，則x₁≤1-x₂，x₂≤1-x₁，∵f（x）是定義在R上的增函數
∴f（x₁）≤f（1-x₂），f（x₂）≤f（1-x₁），則f（x₁）+f（x₂）≤f（1-x₂）+f（1-x₁）
∴f（x₁）-f（1-x₁）+f（x₂）-f（1-x₂）≤0，即g（x₁）+g（x₂）≤0，與g（x₁）+g（x₂）＞0矛盾，
∴x₁+x₂-1＞0

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、數列與函數的綜合、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．