Question

已知函數f（x）=log₂x，將y=f（x）的圖象向左平移兩個單位，再將圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，
（1）求函數y=g（x）；
（2）求函數F（x）=f（x）-g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意和圖象平移變換法則，求出g（x）并注明x的范圍；
（2）由（1）求出F（x）和x的范圍，再由對數的運算化簡，再利用基本不等式和對數單調性，求出此函數的最大值．

解答：解：（1）根據題意和圖象平移變換法則得，
g（x）=2log₂（x+2），（x＞-2），
（2）由（1）得，
F（x）=f（x）-g（x）=log₂x-2log₂（x+2），且x＞0，
F（x）=

log	x (x+2)2 2

=

log	x x2+4x+4 2

=

log	1 x+ 4 x +4 2

，
∵x＞0，∴x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當且僅當x=

4

x

時取等號，此時x=2，
∴

log	1 x+ 4 x +4 2

≤log

1 8 2

=-3，
則F（x）_max=-3．

點評：本題考查了圖象平移變換法則，用基本不等式和對數單調性的應用．