Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n．且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}滿足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），求數列{

1

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設等差數列的首項為a₁，公差為d，由題意構造方程組，解得即可，從而可求出數列的通項公式；
（2）利用疊加法求出數列{b_n}的通項公式，然后利用裂項法進行求和即可．

解答： 解：（1）設等差數列的首項為a₁，公差為d，則4a₁+

4×3

2

d=4（2a₁+d），a₁+（2n-1）d=2a₁+2（n-1）d+1，解得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1．
（2）數列{b_n}滿足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1，
∴b_n-b_n-1=2n+1
∴b₂-b₁=2×2+1，
b₃-b₂=2×3+1，
…
b_n-b_n-1=2n+1，
累加可得，
∴b_n-b₁=2（2+3+4+…+n）+n-1=n²+n-2+n-1，
∴b_n=n²+2n=n（n+2），
驗證當n=1時，b₁=1+2=3，成立
∴

1

bn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

點評：本題主要考查了利用遞推關系求數列的通項公式，以及利用疊加法裂項求數列的和，同時考查了計算能力，屬于中檔題．