Question

已知平面直角坐標系中，A₁(-2，0)，A₂(2,0)、A₃(1,)，△A₁A₂A₃的外接圓為C；橢圓C₁以線段A₁A₂為長軸，離心率e=.

(1)求圓C及橢圓C₁的方程；

(2)設橢圓C₁的右焦點為F，點P為圓C上異于A₁、A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交直線x=2于點Q，判斷直線PQ與圓C的位置關系，并給出證明.

Answer 1

解:(1)∵|OA₁|=|OA₂|=|OA₃|=2，

∴外接圓C以原點O為圓心，線段OA₁為半徑，故其方程為x²+y²=4.

∴2a=4.∴a=2.又e=,∴c=,可得b=.∴所求橢圓C₁的方程是+=1.

(2)直線PQ與圓C相切.

證明:設P(x₀,y₀)(x₀≠±2),則y₀²=4-x₀².當x₀=時,P(,±),Q(2,0),k_OP·k_PQ=-1,

∴OP⊥PQ;當x₀≠2時,k_PF=,∴k_OQ=-.

∴直線OQ的方程為y=-x.

因此，點Q的坐標為(2,).

∵k_PQ====,

∴當x₀=0時,k_PQ=0,OP⊥PQ;當x₀≠0時,k_OP=,∴k_PQ·k_OP=-1,OP⊥PQ.

綜上，當x≠±2時，OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓C相切.