Question

函數f（x）=x（x-m）滿足f(

1

2

+x)=f(

3

2

-x)，且在區間[a，b]上的值域是[-1，3]，則點（a，b）的軌跡是圖中的（　　）

• A、線段AB和線段AD
• B、線段AB和線段CD
• C、線段AD和線段BC
• D、線段AC和線段BD

Answer 1

分析：由函數滿足f(

1

2

+x)=f(

3

2

-x)可得函數關于x=1對稱，從而可得，f（x）=x（x-2）=（x-1）²-1，要使得函數的值域為[-1，3]，則函數的定義域內必須有x=1，且x不能超過3，-1，結合二次函數的圖象可得當a=-1時，1≤b≤3，當b=3時，1-≤a≤1，從而可求

解答：解：由函數滿足f(

1

2

+x)=f(

3

2

-x)可得函數關于x=1對稱
f（x）=x（x-m）的對稱軸為x=1，從而有m=2，f（x）=x（x-2）=（x-1）²-1
由二次函數的性質可知，要使得函數的值域為[-1，3]，則函數的定義域內必須有x=1，且x不能超過3，-1
所以，當a=-1時，1≤b≤3，則點（a，b）所表示的軌跡為線段AB
      當b=3時，1-≤a≤1，則點（a，b）所表示的軌跡為線段AD
故選：A

點評：本題主要考查了二次函數的性質（對稱性、函數的定義域域函數的值域）的應用，解題的關鍵是熟練應用二次函數的圖象．