Question

（2010•湖北模擬）已知f(x)=

1

3

x3+

1

2

(a+1)x2+(a+b+1)x+1，若方程f′（x）=0的兩個實數根可以分別作為一個橢圓和雙曲線的離心率，則（　　）

A．a-b＜-3

B．a-b≤-3

C．a-b＞-3

D．a-b≥-3

Answer 1

分析：f′（x）=x²+（a+1）x+（a+b+1），結合橢圓及雙曲線的性質可得：f′（x）=x²+（a+1）x+（a+b+1）=0有一個大于1的根，一個小于1大于0，則

a+b+1＞0 2a+b+3＜0

，作出不等式組所表示的平面區域，利用線性規劃的知識可求Z=a-b的范圍

解答：解：f′（x）=x²+（a+1）x+（a+b+1）
結合橢圓及雙曲線的性質可得：f′（x）=x²+（a+1）x+（a+b+1）=0有一個大于1的根，一個小于1大于0作出不等式組
則

a+b+1＞0 2a+b+3＜0

所表示的平面區域如圖所示，令Z=a-b
作直線l₀：a-b=0，把直線向可行域平移到A（-2，1）時，Z_max=-3
∴a-b＜-3
故選A．

點評：本題主要考查了函數的零點和根的分布，圓錐曲線的共同特征，線性規劃的基礎知識．考查基礎知識的綜合運用．