Question

如圖，已知直線l₁：y=2x+m（m＜0）與拋物線C₁：y=ax²（a＞0）和圓C₂：x²+（y+1）²=5都相切，F是C₁的焦點．
（1）求m與a的值；
（2）設A是C₁上的一動點，以A為切點作拋物線C₁的切線l，直線l交y軸于點B，以FA，FB為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點M在一條定直線上；
（3）在（2）的條件下，記點M所在的定直線為l₂，直線l₂與y軸交點為N，連接MF交拋物線C₁于P，Q兩點，求△NPQ的面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓心到直線的距離等于半徑求出m，再利用導函數與切線的關系求出a的值即可．
（2）先求出以A為切點的切線l的方程以及點A，B的表達式，再利用以FA，FB為鄰邊作平行四邊形FAMB，結合向量運算即可求出點M所在的定直線．
（3）設直線MF：y=kx+，代入y=得：，結合根與系數的關系及三角形面積公式得出面積的表達式，最后利用函數思想即可求得△NPQ的面積S的取值范圍．
解答：解：（1）由已知，圓C₂：x²+（y+1）²=5的圓心為C₂（0，-1），半徑 ．（1分）
由題設圓心到直線l₁：y=2x+m的距離 ．（3分）
即 ，
解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
設l₁與拋物線的相切點為A（x，y），又y′=2ax，（5分）
得 ，．（6分）
代入直線方程得：，∴
所以m=-6，．（7分）
（2）由（1）知拋物線C₁方程為 ，焦點 ．（8分）
設 ，由（1）知以A為切點的切線l的方程為 ．（10分）
令x=0，得切線l交y軸的B點坐標為 （11分）
所以 ，，（12分）
∴（13分）
因為F是定點，所以點M在定直線 上．（14分）
（3）設直線MF：y=kx+，代入y=得：
，得x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
S_△NPQ=|NF||x₁-x₂|=×3×=9
∵k≠0，∴S_△NPQ＞9，
△NPQ的面積S的取值范圍（9，+∞）．
點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯立讓對應方程的判別式為0求解．本題用的是第一種