Question

某企業2012年初用72萬元購進一臺設備，并立即投入生產使用，計劃第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4萬元，該設備使用后，每年的總收入為50萬元，設使用n后該設備的盈利額為f（n）
（Ⅰ）寫出f（n）的表達式
（Ⅱ）求從第幾年開始，該設備開始盈利；
（Ⅲ）用若干年后，對該設備的處理方案有兩種：方案一：年平均盈利額達到最大值時，以48萬元價格處理該設備；方案二：當盈利額達到最大值時，以16萬元價格處理該設備．問用哪種方案處理較為合理？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，根據第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，由此可得f（n）的表達式
（Ⅱ）由f（n）＞0，即可得到結論；
（Ⅲ）方案①利用基本不等式求最值，方案②利用配方法求最值，比較即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：f（n）=50n-72-[12n+

n(n-1)

2

•4]=-2n²+40n-72（n∈N₊）．…（3分）
（Ⅱ）由f（n）＞0得：-2n²+40n-72＞0即n²-20n+36＜0，解得2＜n＜18，
由n∈N₊知，從第三年開始盈利…（6分）
（Ⅲ）方案①：年平均純利潤

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

）≤16，當且僅當n=6時等號成立．
故方案①共獲利6×16+48=144（萬元），此時n=6．…（10分）
方案②：f（n）=-2（n-10）²+128．當n=10時，f（n）_max=128．
故方案②共獲利128+16=144（萬元）．…（13分）
比較兩種方案，獲利都是144萬元，但由于第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①種方案更合算．…（14分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用基本不等式與配方法求函數的最值，屬于中檔題．