Question

已知函數(shù)f(x)=4x+

a

x+1

，a＞-1，a為常數(shù)，
（1）若a=1，證明f（x）≥0；
（2）對任意x∈（1+∞）f（x）＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把原函數(shù)變形為f（x）=4（x+1）+

1

x+1

-4，再利用基本不等式即可證明結(jié)論；
（2）先把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式a＞（1-4x）（1+x），再求出函數(shù)g（x）=（1-4x）（1+x）在（1，+∞）上的最值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）a=1時(shí)，f(x)=4x+

1

x+1

，因x＞-1，所以x+1＞0，
所以f(x)=4(x+1)+

1

x+1

-4≥4-4=0，所以f(x)≥0．
（2）對任意x∈（1，+∞）有f（x）＞1，

即4x+ 1 x+1 ＞1得a＞(1-4x)(1+x)，令g(x)=(1-4x)(1+x)， g(x)=-4x2-3x+1在(1，+∞)上遞增，所以g(x)＜g(1)=-6， ∴a≥-6，即a的取值范圍是[-6，+∞].

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及基本不等式的應(yīng)用．在應(yīng)用基本不等式解題時(shí)，一定要先看是否滿足其成立的條件．