Question

設函數f(x)=x+

alnx

x

，其中a為常數．
（1）證明：對任意a∈R，y=f（x）的圖象恒過定點；
（2）當a=-1時，判斷函數y=f（x）是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，說明理由；
（3）若對任意a∈（0，m]時，y=f（x）恒為定義域上的增函數，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）令lnx=0得到x=1=f（x）得到函數過定點；
（2）當a=-1時求出函數的導函數觀察發現x=1時g（x）=0且為唯一根，根據x的范圍討論函數的增減性得到x=1是函數的唯一極值點，求出f（1）即為最小值；（3）y=f（x）恒為定義域上的增函數即要證f^/（x）f/(x)=1+

a-alnx

x2

=

x2-alnx+a

x2

大于零，利用導數研究函數h（x）=x²-alnx+a的最小值都比0大即可．

解答：解：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的圖象過定點（1，1）；
（2）當a=-1時，f(x)=x-

lnx

x

，f/(x)=1-

1-lnx

x2

=

x2+lnx-1

x2

令g（x）=x²+lnx-1，經觀察得g（x）=0有根x=1，下證明g（x）=0無其它根．g/(x)=2x+

1

x

，
當x＞0時，g^/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
且當x∈（0，1）時，f/(x)=

g(x)

x2

＜0，f（x）在（0，1）上是減函數；
當x∈（1，+∞）時，f/(x)=

g(x)

x2

＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數
所以x=1是f（x）的唯一極小值點．極小值是f(1)=1-

ln1

1

=1．
（3）f/(x)=1+

a-alnx

x2

=

x2-alnx+a

x2

，令h（x）=x²-alnx+a
由題設，對任意a∈（0，m]，有h（x）≥0，x∈（0，+∞），
又h/(x)=

2x2-a

x

=

2(x- a 2 )(x+ a 2 )

x

當x∈(0，

a 2 )

時，h^/（x）＜0，h（x）是減函數；
當x∈(

a 2

，+∞)時，h^/（x）＞0，h（x）是增函數；
所以當x=

a 2

時，h（x）有極小值，也是最小值h(

a 2

)=(

3

2

-ln

a 2

)a，
又由h（x）≥0得(

3

2

-ln

a 2

)a≥0，得a≤2e³，即m的最大值為2e³．

點評：考查學生利用導數研究函數的單調性及研究函數極值的能力，以及應用函數單調性的能力．