Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又頂點A₁在底面ABC上的射影落在AC上，側棱AA₁與底面ABC成60°角，D為AC的中點．
（1）求證：BD⊥AA₁；
（2）如果二面角A₁-BD-C₁為直二面角，試求側棱CC₁與側面A₁ABB₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證線線垂直，關鍵是證明線面垂直，利用面面垂直可得線面垂直，故可證；
（2）∠A₁DC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角，故∠A₁DC₁=90°，又∠A₁AD為AA₁與底面ABC所成的角，從而∠A₁AD=60°．由于CC₁∥側面A₁ABB₁，故CC₁與側面A₁ABB₁的距離可轉化為點C到側面A₁ABB₁的距離，建立空間直角坐標系，求出面A₁ABB₁的法向量，利用即可求得．
解答：證明：（1）在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因為A₁在底面ABC上射影落在AC上，則平面A₁ACC₁經過底面ABC的垂線 
故側面A₁C⊥面ABC．
又 BD為等腰△ABC底邊AC上中線，則BD⊥AC，從而BD⊥面AC．
∴BD⊥面A₁C，又AA₁?面A₁C，
∴AA₁⊥BD（4分）
（2）∠A₁DC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角，故∠A₁DC₁=90°，
又∠A₁AD為AA₁與底面ABC所成的角，從而∠A₁AD=60°，
設側棱長為a，
由于，
則，類似地．
在Rt△A₁DC₁中，A₁D²+DC₁²=A₁C₁²，即．（8分）
這樣△A₁AD為等邊三角形，取AD的中點O，以O為原點，如圖建立空間直角坐標系．易知，
故，
設面A₁ABB₁的法向量為，
則，可取，
又，，
故點C到側面A₁ABB₁的距離為，
而CC₁∥側面A₁ABB₁，故CC₁與側面A₁ABB₁的距離為．（12分）
點評：本題的考點是點、線、面間的距離計算，考查平面與平面垂直的性質，考查線面距離，考查利用空間向量求解空間距離，綜合性強