Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求函數的極值；

（Ⅱ）討論的單調性；

（Ⅲ）若對任意的，恒有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

（I）先求得函數的定義域. 當時，對函數求導，利用函數的單調區間求得函數的極值.（II）先對函數求導，通分和因式分解后，對分成等類，討論函數的單調性.（III）由（Ⅱ）知，當時，函數在區間上單調遞減，由此求得函數在區間上的最大值和最小值.由此求得的最大值，將原不等式化為左邊大于這個最大值來求得實數的取值范圍.

（Ⅰ）函數的定義域為，當時，函數，

，.

令，則，令，則

所以函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以函數在處取得極小值，極小值為，無極大值

（Ⅱ）.

當時，，

令，則，令，則

所以函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，

當時，，

令，得.

②當時，則，

令，則，令，則

所以函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，

③當時，，，

函數在定義域單調遞減；

④當

令.則；令，則或.

所以在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增

⑤當時，，

令，則，令，則或.

所以在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增.

綜上，當時，函數在上單調遞減，在區間上單調遞增.

當時，函數在定義域單調遞減；

當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

當時，在區間上單調遞減，在區間單調遞增

（III）由（Ⅱ）知，當時，函數在區間上單調遞減，

所以當時，，，

問題等價于：對任意的，

恒有成立，

即，因為，對任意的恒成立

又，

所以，實數的取值范圍是