Question

已知函數f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R）為偶函數
（1）求a的值
（2）若x∈（0，+∞）時總有f（x）-（1-m）x²＞0成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x）對x∈R恒成立，再用待定系數法求解，已經知道性質，也可以用特殊值求解．（2）不等式即為x²+|x|+1-（1-m）x²＞0，并去絕對值轉化為mx²+x+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．然后令g（x）=mx²+x+1，
x∈（0，+∞）求其最小值可即可，要注意分類討論．
解答：解：（1）法一：因為函數f（x）為偶函數，所以f（-x）=f（x）對x∈R恒成立，
即有x²+|x-a|+1=x²+|x+a|+1，化為|x-a|=|x+a|對任意實數x恒成立，
平方得（x-a）²=（x+a）²，即4ax=0，所以a=0．（5分）
（若直接由|x-a|=|x+a|得a=0扣2分）
法二：由f（1）=f（-1）得|1-a|=|1+a|，得a=0．（3分）
此時f（x）=x²+|x|+1，滿足f（-x）=f（x），
所以a=0時，f（x）為偶函數．（5分）
（2）不等式即為x²+|x|+1-（1-m）x²＞0，
即不等式mx²+x+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．
設g（x）=mx²+x+1，x∈（0，+∞）．
①當m=0時，g（x）=x+1＞0在（0，+∞）上恒成立；（7分）
②當m＜0時，拋物線開口向下，不等式不可能恒成立；（10分）
③當m＞0時，對稱軸＜0，
又因為g（0）=1＞0，所以不等式恒成立．（14分）
綜上得m≥0．（15分）
點評：本題主要考查利用奇偶性求參數的值一般用待定系數法，還考查了不等式恒成立問題，一般轉化為函數求最值問題．