Question

如圖，設點P從原點沿曲線y=x²向點A（2，4）移動，記直線OP、曲線y=x²及直線x=2所圍成的面積分別記為S₁，S₂，若S₁=S₂，則點P的坐標為

 

．

Answer 1

分析：設出直線解析式y=kx，直線OP、曲線y=x²及直線x=2所圍成的面積分別記為S₁，S₂，且S₁=S₂，利用定積分分別求出兩個面積，讓其相等得到關于k的方程，求出k即可得到OP的方程，然后與曲線y=x²聯立求出交點即可．

解答：解：設直線OP的方程為y=kx，P點的坐標為（x，y），
則

∫

x 0

 （kx-x²）dx=

∫

2 x

 （x²-kx）dx，
即（

1

2

kx²-

1

3

x³）

.

x 0

=（

1

3

x³-

1

2

kx²）

.

2 x

，
解得

1

2

kx²-

1

3

x³=

8

3

-2k-（

1

3

x³-

1

2

kx²），解得k=

4

3

，
所以直線OP的方程為y=

4

3

x，與y=x²聯立求出交點坐標即為點P的坐標（

4

3

，

16

9

）．
故答案為（

4

3

，

16

9

）

點評：考查學生會利用定積分求圖形面積的能力．以及會求直線與二次函數的交點坐標．