Question

已知函數f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1．
（1）求證：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（2）對?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導數，利用條件判斷函數導數的符號，進而判斷函數的單調性．
（2）求出函數f（x）在區間[-1，1]上的最大值和最小值，然后利用不等式恒成立的條件進行求參數a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna． …（2分）
由于a＞1，故當x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，…（5分）
故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．…（6分）
（2）由（1）可知，當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，
故函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減．…（7分）
所以，f（x）在區間[-1，0]上單調遞減，在區間[0，1]上單調遞增．
所以f_min=f（0）=1，f_max=max{f（-1），f（1）}．…（9分）
f（-1）=

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，
f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna，
記g（x）=x-

1

x

-2lnx，則g′（x）=1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2，（當x=1時取到等號），所以g（x）=x-

1

x

-2lnx遞增，
故f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna＞0    …（11分）
所以f（1）＞f（-1），于是f_max=f（1）=a+1-lna．（12分）
故對?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|_max=|f（1）-f（0）|=a-lna，所以a-lna≤e-1，所以1＜a≤e．…（14分）

點評：本題考查導數在研究函數中的兩個應用：研究函數的單調性以及求函數的最大值和最小值．要使不等式恒成立，只要e-1大于等于最大值與最小值之差即可．