Question

5．已知函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（5a-1）x+4a}&{（x＜1）}\\{{{log}_a}x}&{（x≥1）}\end{array}}$在區間（-∞，+∞）內是減函數，則a的取值范圍是$[\frac{1}{9}，\frac{1}{5}）$．

Answer 1

分析 若函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（5a-1）x+4a}&{（x＜1）}\\{{{log}_a}x}&{（x≥1）}\end{array}}$在區間（-∞，+∞）內是減函數，則$\left\{\begin{array}{l}5a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 5a-1+4a≥0\end{array}\right.$，解得a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（5a-1）x+4a}&{（x＜1）}\\{{{log}_a}x}&{（x≥1）}\end{array}}$在區間（-∞，+∞）內是減函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}5a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 5a-1+4a≥0\end{array}\right.$，
解得a∈$[\frac{1}{9}，\frac{1}{5}）$．
故答案為：$[\frac{1}{9}，\frac{1}{5}）$

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的單調性，難度中檔．