Question

已知圓及點C₂（2，0），在圓上任取一點P，連接C₂P，做線段C₂P的中垂線交直線P于點M．
（1）當點P在圓上運動時，求點M的軌跡E的方程；
（2）設軌跡E與x軸交于，A₂兩點，在軌跡E上任取一點Q（，）（≠0），直線Q，QA₂分別交y軸于D，E兩點，求證：以線段DE為直徑的圓C過兩個定點，并求出定點坐標．

Answer 1

（1）解：∵線段C₂P的中垂線交直線P于點M，
∴|MC₂|=|MP|，
又∵|MP|=|M|+2，
∴|M|﹣|MC₂|=±2（2＜4）
∴M點軌跡是以，C₂為焦點的雙曲線，且2a=2，2c=4
∴點M的軌跡E的方程為
（2）證明：（﹣1，0），A₂（1，0），，
∴，
∴
∴
∴以DE為直徑的圓方程
∴y=0時，
∴以線段DE為直徑的圓C過兩個定點，定點為