Question

【題目】如圖，已知動直線過點，且與圓交于、兩點．

（1）若直線的斜率為，求的面積；

（2）若直線的斜率為，點是圓上任意一點，求的取值范圍；

（3）是否存在一個定點（不同于點），對于任意不與軸重合的直線，都有平分，若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：

(1)利用題意分別求得距離和弦長可得；

(2)利用題意得到關(guān)于縱坐標y的函數(shù)，結(jié)合定義域可得的取值范圍是.

(3)聯(lián)立直線和圓的方程，結(jié)合對稱性可得點Q存在，其坐標為 .

試題解析：

解：（1）因為直線的斜率為，所以直線 ，

則點到直線的距離，

所以弦的長度，

所以.

（2）因為直線的斜率為，所以可知、，

設(shè)點，則，

又，

所以，又，

所以的取值范圍是.

（3）法一： 若存在，則根據(jù)對稱性可知，定點在軸上，設(shè)、又設(shè)、，

因直線不與軸重合，設(shè)直線 ，

代入圓得，

所以（*）

若平分，則根據(jù)角平分線的定義，與的斜率互為相反數(shù)

有，又，，

化簡可得，

代入（*）式得，因為直線任意，故，

即， 即

解法二:若存在，則根據(jù)對稱性可知，定點在軸上，設(shè)、又設(shè)、，

因直線不與軸重合，設(shè)直線 ，

代入圓得，

所以（*）

若平分，則根據(jù)角平分線的幾何意義，點到軸的距離，點到軸的距離滿足，即，

化簡可得，

代入（*）式得，因為直線任意，故，

即， 即