Question

如圖，已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，∠BAP=45°，直線CA和平面α所成的角為30°．
（Ⅰ）證明BC⊥PQ；
（Ⅱ）求二面角B-AC-P的大小．

Answer 1

分析：（1）在平面β內過點C作CO⊥PQ于點O，連接OB，欲證PQ⊥BC，即證PQ⊥平面OBC，因BO⊥PQ．又CO⊥PQ且BO∩CO=O，根據線面垂直的判定定理可證PQ⊥平面OBC；
（2）過點O作OH⊥AC于點H，連接BH，由三垂線定理知，BH⊥AC，故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角，然后在Rt△BOH中解出此角即可．

解答：解：（I）在平面β內過點C作CO⊥PQ于點O，連接OB．
因為α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，
又因為CA=CB，所以OA=OB．
而∠BAO=45°，所以∠ABO=45°，∠AOB=90°．從而BO⊥PQ．又CO⊥PQ，
所以PQ⊥平面OBC．因為BC?平面OBC，故PQ⊥BC．
（II）由（I）知，BO⊥PQ，又α⊥β，α∩β=PQ，BO?α，所以BO⊥β．
過點O作OH⊥AC于點H，連接BH，由三垂線定理知，BH⊥AC．
故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．
由（I）知，CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，則∠CAO=30°，
不妨設AC=2，則AO=

3

，OH=AOsin30°=

3

2

．
在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=

3

，
于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=

BO

OH

=

3

3 2

=2．
故二面角B-AC-P的大小為arctan2．

點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及空間中直線與直線之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．